Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

（a-4）x²+2（2-a）x+a的圖象與y軸的交點和原點的距離小于或等于1．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在這樣的區(qū)間，對任意的a的可能取值，函數(shù)f（x）在該區(qū)間上都是單調遞增的？若存在，則求出這樣的區(qū)間，若不存在，則說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）函數(shù)圖象與y軸交點為（0，a），則|a|≤1，從而可求
（2）對函數(shù)求導，由函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為增函數(shù)可得f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，構造關于a的函數(shù)g（a）=（x-2）a+x²-4x+4＞0對任意的a∈[-1，1]恒成，結合一次函數(shù)的性質可求x的范圍

解答： 解：（1）函數(shù)圖象與y軸交點為（0，a），則|a|≤1，∴-1≤a≤1；
（2）f'（x）=x²+（a-4）x+2（2-a）=（x-2）a+x²-4x+4，
令f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，
即不等式g（a）=（x-2）a+x²-4x+4＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，
其充要條件是：

g(1)=x2-3x+2＞0 g(-1)=x2-5x+6＞0

，解得x＜1，或x＞3．
所以當x∈（-∞，1）或x∈（3，+∞）時，f'（x）＞0對任意a∈[-1，1]恒成立，
所以對任意a∈[-1，1]函數(shù)f（x）均是單調增函數(shù)．
故存在區(qū)間（-∞，1）和（3，+∞），對任意a∈[-1，1]，f（x）在該區(qū)間內均是單調增函數(shù)．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)與函數(shù) 的單調性的關系的應用，解題的關鍵是根據(jù)導數(shù)的知識得到f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立時，構造關于a的一次函數(shù)進行求解，體現(xiàn)了轉化的思想在解題中的應用．