Question

如圖，直線PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且PA=AD=2，點(diǎn)E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)．
（1）求異面直線EG與BD所成角的大小（結(jié)果用反三角表示）；
（2）在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使BF⊥EQ，若存在，求出DQ的長，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（1）以A為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，求出E，G，B，D，

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)利用數(shù)量積求解即可．
（2）假設(shè)CD存在點(diǎn)Q，使BF⊥EQ，設(shè)DQ=x，則Q（x，2，0），F(xiàn)（0，1，1），通過向量的數(shù)量積是否為0．所判斷BF⊥EQ．

解答： [理]
解：（1）以A為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系
則E（0，0，1），G（1，2，0），B（2，0，0），D（0，2，0）
因此

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)
所以cosα=|

EG • BD

| EG |•| BD |

|=

2

6 •2 2

=

3

6

．
即異面直線EG與BD所成角的為arccos

3

6

（2）假設(shè)CD存在點(diǎn)Q，使BF⊥EQ，設(shè)DQ=x，則Q（x，2，0），
F（0，1，1）
因此

BF

=(-2，1，1)，

EQ

=(x，2，-1)
因?yàn)锽F⊥EQ所以

BF

•

EQ

=0
即DQ=x=

1

2

，
所以CD存在點(diǎn)Q，使BF⊥EQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量法求解異面直線所成角以及直線的垂直的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．