Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-1|．
（1）若?x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤m成立，求實(shí)數(shù)m的最小值M；
（2）在（1）的條件下，若正數(shù)a，b滿足3a+b=m，求$\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求得f（x）的最小值，令m不小于最小值，即可得到所求M；
（2）由題意可得3a+b=2，運(yùn)用乘1法和基本不等式，即可得證．

解答 解：（1）由題意，不等式|x+1|+|x-1|≤m有解，即m≥（|x+1|+|x-1|）_min=M．
∵|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2，當(dāng)且僅當(dāng)（x+1）（x-1）≤0⇒-1≤x≤1時(shí)取等號(hào)，
∴M=2．
（2）由（1）得3a+b=2，
∴$\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+b}=\frac{1}{2}（3a+b）（\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+b}）=\frac{1}{2}[2a+（a+b）]（\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+b}）$=$\frac{1}{2}（1+\frac{2a}{a+b}+\frac{a+b}{2a}+1）≥\frac{1}{2}（2+2\sqrt{1}）=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2a}{a+b}=\frac{a+b}{2a}⇒a=b=\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
故${（\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+b}）_{min}}=2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)的運(yùn)用：求最值，考查存在性問題的解法，以及基本不等式的運(yùn)用，注意運(yùn)用乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．