Question

【題目】如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= ．

（Ⅰ）證明：AC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求直線AE與平面ABC所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖所示，取DC的中點(diǎn)F，連接BF，則DF= DC=1=BE，

∵∠CDE=∠BED=90°，∴BE∥DF，

∴四邊形BEDF是矩形，

∴BF⊥DC，BF=ED=1，

在Rt△BCF中，BC= = ．

在△ACB中，∵AB=2，BC=AC= ，

∴BC2+AC2=AB2，

∴AC⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，∴AC⊥平面BCDE．

（Ⅱ）過點(diǎn)E作EM⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AM．

又平面ABC⊥平面BCDE，∴EM⊥平面ACB．

∴∠EAM是直線AE與平面ABC所成的角．

在Rt△BEM中，EB=1，∠EBM=45°．

∴EM= =MB．

在Rt△ACM中， = = ．

在Rt△AEM中， = = ．

【解析】91）根據(jù)勾股定理的逆定理可知AC⊥BC，由已知平面ABC⊥平面BCDE并且兩平面相交于BC，根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可知AC⊥平面BCDE。（2）根據(jù)題意作出輔助線，可證明EM⊥平面ACB進(jìn)而可得∠EAM是直線AE與平面ABC所成的角，根據(jù)幾何關(guān)系可求出tan的值。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．