Question

14．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P為橢圓M上任意一點(diǎn)，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值的取值范圍是[c²，3c²]，其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，則該橢圓的離心率的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 通過設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)可表示出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=a²-c²-$\frac{{c}^{2}{y}^{2}}{^{2}}$，從而$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$取到最大值a²-c²，進(jìn)而可求出離心率的取值范圍．

解答 解：由題意，設(shè)點(diǎn)P為（x，y），
∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
∴x²=$\frac{{a}^{2}（^{2}-{y}^{2}）}{^{2}}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-c-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（c-x，-y），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²-c²+y²
=$\frac{{a}^{2}（^{2}-{y}^{2}）}{^{2}}$-c²+y²
=a²-c²-$\frac{{c}^{2}{y}^{2}}{^{2}}$，
∴當(dāng)y=0時(shí)，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$取到最大值a²-c²，
即c²≤a²-c²≤3c²，
∴$\sqrt{2}$c≤a≤2c，
∴$\frac{1}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴橢圓m的離心率e的取值范圍是：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．