Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，過(guò)右焦點(diǎn)F₁作與坐標(biāo)軸垂直的弦且弦長(zhǎng)為

2

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=-x+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求△F₁AB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用離心率e=

2

2

，過(guò)右焦點(diǎn)F₁作與坐標(biāo)軸垂直的弦且弦長(zhǎng)為

2

，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由直線l：y=-x+m與橢圓可得3x²-4mx+2m²-2=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合以AB為直徑的圓與y軸相切，求出m，即可求△F₁AB的面積．

解答： 解：（1）由題意得

c a = 2 2 2b2 a = 2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=1．
所以橢圓的方程是

x2

2

+y2=1．              …（4分）
（2）由直線l：y=-x+m與橢圓可得3x²-4mx+2m²-2=0，
則△＞0，即m²＜3；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

．…（6分）
則AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

2m

3

，
則以AB為直徑的圓的半徑為r=

2

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

，
由條件可得

2

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=|

2m

3

|…（8分）
整理可得(

4m

3

)2=8•

2m2-2

3

，
所以m=±

6

2

…（10分）
而|y₁-y₂|=|x₁-x₂|=

2 3

3

故△F₁AB的面積為

1

2

|y₁-y₂|（-1+

6

2

）=

±2 3 +3 2

6

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．