【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,∠ABC45°ADAP2,ABDP,ECD的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段PB.試確定點(diǎn)F的位置,使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等.

【答案】當(dāng)時(shí),直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等

【解析】

由已知可證PA⊥底面ABCD,由余弦定理求出,進(jìn)而有,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,AC,AP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Axyz,求出坐標(biāo),設(shè)λλ[0,1]),求出平面PDC的法向量坐標(biāo),而平面ABCD的一個(gè)法向量為=(00,1),按照空間向量的線面角公式,即可求解.

∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)面PAD底面ABCDAD,

PAAD,PA平面PAD,∴PA⊥底面ABCD. A為坐標(biāo)原點(diǎn),

中,,

DA,AC,AP所在直線為x軸,y軸,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Axyz

A0,00),D(-20,0),C02,0),

B2,20),E(-11,0),P0,0,2),

=(02,-2),=(-2,0,-2),

=(2,2,-2.設(shè)λλ[01]),

=(2λ2λ,-2λ),F2λ,2λ,-2λ2),

=(2λ1,2λ1,-2λ2),

平面ABCD的一個(gè)法向量為=(00,1.

設(shè)平面PDC的法向量為=(x,yz),

則∴,令x1,得=(1,-1,-1.

∵直線EF與平面PDC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等,

,

,∴22λ,解得,

∴當(dāng)時(shí),直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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年份x

2014

2015

2016

2017

2018

足球特色學(xué)校y(百個(gè))

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計(jì)算yx的相關(guān)系數(shù)r,并說明yx的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.

(已知:,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性很強(qiáng);,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性一般;,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性較):

2)求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個(gè)數(shù)(精確到個(gè)).

參考公式和數(shù)據(jù):

,

.

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A.B.C.D.

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