Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*），且a₁=0．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）是否存在一個(gè)實(shí)常數(shù)λ，使得數(shù)列{

1

an-λ

}為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*）及a₁=0即可求得a₂，a₃的值；
（2）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)常數(shù)λ，使得數(shù)列{

1

an-λ

}為等差數(shù)列，依題意可求得λ，再利用等差數(shù)列的定義即可證得猜想成立．

解答： 解 （1）a2=

1

3

，a3=

1

2

…（4分）
（2）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)常數(shù)λ，使得數(shù)列{

1

an-λ

}為等差數(shù)列，則

1

a1-λ

，

1

a2-λ

，

1

a3-λ

成等差數(shù)列，所以

2

a2-λ

=

1

a1-λ

+

1

a3-λ

，…（6分）
所以

2

1 3 -λ

=

1

0-λ

+

1

1 2 -λ

，解之得λ=1．…（8分）
因?yàn)?span id="ub2wiy7" class="MathJye">

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1+an 3-an -1

-

1

an-1

=

3-an

2(an-1)

-

1

an-1

=

1-an

2(an-1)

=-

1

2

…（11分）
又

1

a1-1

=-1，所以存在一個(gè)實(shí)常數(shù)λ=1，使得數(shù)列{

1

an-λ

}是首項(xiàng)為-1，
公差為-

1

2

的等差數(shù)列．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系及等差關(guān)系的確定，考查運(yùn)算與推理能力，屬于難題．