【題目】如圖在三棱柱中，為邊的中點(diǎn)，.

（1）證明：平面；

（2）若，為中點(diǎn)且，，，求平面與平面所成二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用三角形中位線的性質(zhì)得出，利用線面平行的判定定理可證得平面；

（2）證明出平面，由此可得出、、兩兩垂直，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成二面角的余弦值.

（1）在三棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，

由，可知為的中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>為邊的中點(diǎn)，所以，

平面，平面，所以平面；

（2）因?yàn)?/span>，，，所以，所以，

取中點(diǎn)，則，，

因?yàn)?/span>，，所以，

又，所以滿足，，

，所以平面，即、、兩兩相互垂直，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖示），

所以、、、，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，

則有，即，取，則，，所以，

因?yàn)?/span>平面，所以平面的法向量可以取為，

，

所以平面與平面所成的二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，在三棱柱中，，，，如圖.

（1）求證：平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】百年大計(jì)，教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進(jìn)行專項(xiàng)培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計(jì)有如下表格.（其中表示通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)，表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù)）

年份（屆）

2014

2015

2016

2017

2018

41

49

55

57

63

82

96

108

106

123

（1）通過畫散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）

（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人，預(yù)測2019年高考該�？既嗣５娜藬�(shù)；

（3）若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳，在選取的5個人中再選取2人進(jìn)行演講，求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.

參考公式：，

參考數(shù)據(jù)：，，，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，平面四邊形中，，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn).

（1）求拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）直線交拋物線于，不同兩點(diǎn)，且，位于軸兩側(cè)，過點(diǎn)，分別作拋物線的兩條切線交于點(diǎn)，直線，與軸的交點(diǎn)分別記作，．記的面積為，面積為，面積為，試問是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年10月1日，是中華人民共和國成立70周年紀(jì)念日.70年砥礪奮進(jìn)，70年波瀾壯闊，感染、激勵著一代又一代華夏兒女，為祖國的繁榮昌盛努力拼搏，奮發(fā)圖強(qiáng).為進(jìn)一步對學(xué)生進(jìn)行愛國教育，某校社會實(shí)踐活動小組，在老師的指導(dǎo)下，從學(xué)校隨機(jī)抽取四個班級160名同學(xué)對這次國慶閱兵受到激勵情況進(jìn)行調(diào)查研究，記錄的情況如下圖：

（1）如果從這160人中隨機(jī)選取1人，此人非常受激勵的概率和此人是很受激勵的女同學(xué)的概率都是，求的值；

（2）根據(jù)“非常受激勵”與“很受激勵”兩種情況進(jìn)行研究，判斷是否有的把握認(rèn)為受激勵程度與性別有關(guān).

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開展“慶元旦”活動，當(dāng)天各店鋪銷售額破十億，為了提高各店鋪銷售的積極性，采用搖號抽獎的方式，抽取了家店鋪進(jìn)行紅包獎勵.如圖是抽取的家店鋪元旦當(dāng)天的銷售額（單位：千元）的頻率分布直方圖．

（1）求抽取的這家店鋪，元旦當(dāng)天銷售額的平均值；

（2）估計(jì)抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷售額不低于元的有多少家；

（3）為了了解抽取的各店鋪的銷售方案，銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷售研究，求抽取的店鋪銷售額在和各一個的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD是直角梯形，，，平面平面，，，，，的余弦值為，，F為BE中點(diǎn)，G為PD中點(diǎn)．

（1）求證：平面ABCD；

（2）求平面BCE與平面ADE所成角(銳角)的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，.

（1）求證：；

（2）若，求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值.

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