Question

設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足

OP

=

OB + OC

2

+λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

），其中A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（　�。�

• A、外心
• B、內(nèi)心
• C、重心
• D、垂心

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)題意，求出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式，即可得出點(diǎn)P的軌跡是什么．

解答： 解：根據(jù)題意，

OP

=

OB + OC

2

+λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

），
∴2

OP

=（

OB

+

OC

）+2λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

），
∴（

OP

-

OB

）+（

OP

-

OC

）=2λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

），
即

BP

+

CP

=2λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

）①；
以BC為x軸，過A點(diǎn)作y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)B（b，0），A（0，a），C（c，0），不放設(shè)b＜c，P（x，y）；如圖所示：
則由①式得：

BP

+

CP

=（x-b+x-c，y+y）=（2x-b-c，2y），
2λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

）=2λ[

AB

AB • BC

×（-|

BC

|）+

AC

AC • BC

×（|

BC

|）]
=2λ[

(-b，a)

-b(c-b)

×（b-c）+

(-c，a)

-c(c-b)

×（c-b）]=2λ（0，

a

b

-

a

c

）；
∴2x-b-c=0，2y=2λ（

a

b

-

a

c

）；
∴x=

b+c

2

，y=λ（

a

b

-

a

c

）；
∵λ是任意實(shí)數(shù)，∴p為線段BC的中垂線上的點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的外心．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了求點(diǎn)的軌跡的問題，解題時應(yīng)結(jié)合題意，畫出圖形，根據(jù)圖形進(jìn)行解答，是難題．