Question

14．如圖是兩個腰長均為10cm的等腰直角三角形拼成的一個四邊形ABCD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為500$\sqrt{3}$cm³．

Answer 1

分析 先確定三棱錐A-BCD的外接球直徑為AC，再根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求出外接球的半徑R，從而求得體積．

解答 解：四邊形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°，
∴AB⊥BD，CD⊥BD；
∵沿BD折成直二面角A-BD-C，如圖所示；
∴AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABD，
∴AB⊥BC，CD⊥DA；
∴三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC，
且|AC|²=|AB|²+|BD|²+|CD|²=10²+10²+10²=300
∴外接球的半徑為R=5$\sqrt{3}$，它的體積為$\frac{4π}{3}$•${（5\sqrt{3}）}^{3}$=500$\sqrt{3}$π．
故答案為：500$\sqrt{3}$π．

點評 本題考查了幾何體外接球的體積計算問題，解題的關(guān)鍵是確定外接球的直徑．