Question

已知函數(shù)f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)，g(x)=

1

2

sin2x-

1

4

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)h（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用兩角和差的余弦公式和二倍角公式，將函數(shù)f（x）化為y=Acos（ωx+φ）型函數(shù)，再利用周期計(jì)算公式得函數(shù)的最小正周期；
（2）先利用兩角和的余弦公式將函數(shù)h（x）化為y=Acos（ωx+φ）型函數(shù)，再將內(nèi)層函數(shù)看作整體放到余弦曲線的增區(qū)間上，即可解得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求整個(gè)函數(shù)的值域，從而得其最值

解答：解：（1）f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)=(

1

2

cosx-

3

2

sinx)(

1

2

cosx+

3

2

sinx)
=

1

4

cos2x-

3

4

sin2x=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

=

1

2

cos2x-

1

4

，
所以周期T=

2π

2

=π
（2）h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=

2

2

cos(2x+

π

4

)，
由2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ，得kπ-

5π

8

≤x≤kπ-

π

8

，k∈Z
∴函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

](k∈Z)
（3）由（2）知h(x)=

2

2

cos(2x+

π

4

)，
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴當(dāng)2x+

π

4

=

π

4

，即x=0時(shí)，h(x)max=

1

2

，
當(dāng)2x+

π

4

=π，即x=

3π

8

時(shí)，h(x)min=-

2

2

∴函數(shù)h（x）的最大值與最小值分別為

1

2

，-

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角變換公式的運(yùn)用，y=Acos（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，整體代換的思想方法