Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a∈R）
（1）若a＞0，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）談?wù)摵瘮?shù)F（x）=f（x）-xlnx內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)當(dāng)a＞0時(shí)的情況從而得出結(jié)論，
（2）f（x）-xlnx定義域?yàn)椋?，+∞），由F（x）=0⇒a=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，x＞0，令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，x＞0，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，x＞0，從而h（x）≥h（1）=e-1，由e^x-1＞x?$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-1-ax，
∴f′（x）=e^x-a，
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0⇒x＞ln，f′（x）＜0⇒x＜lna，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，lna）；
（2）函數(shù)F（x）=f（x）-xlnx定義域?yàn)椋?，+∞），
又F（x）=0⇒a=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，x＞0，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，x＞0，
則h′（x）=$\frac{{（e}^{x}-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，x＞0，
∴h′（x）＞0⇒x＞1，h′（x）＜0⇒0＜x＜1，
故函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x）≥h（1）=e-1，
有由（1）知當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，
即e^x-1＞x?$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1，
∴當(dāng)x＞0且x趨向0時(shí)，h（x）趨向+∞，
隨著x＞0的增長(zhǎng)，y=e^x-1的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=x²的增長(zhǎng)速度，
而y=lnx的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢．
故當(dāng)x＞0且x趨+∞時(shí)，h（x趨向+∞．
得到函數(shù)h（x）的草圖如圖所示：
故①當(dāng)a＞e-1時(shí)，函數(shù)F（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
③當(dāng)a=e-1時(shí)，函數(shù)F（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)a＜e-1時(shí)，函數(shù)F（x）無(wú)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的判判定，滲透了分類(lèi)討論思想，是一道綜合題．