Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知0≤x₁＜x₂．求證：ex2-x1＞ln

e(x2+1)

x1+1

；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=e^x-

x

x+1

lnx-f（x），證明：對任意的正實(shí)數(shù)a，總能找到實(shí)數(shù)m（a），使g[m（a）]＜a成立．注：e為自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）取極值的情況，取到端點(diǎn)值時(shí)比較端點(diǎn)值．本題求得導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=ex-

1

x+1

，這時(shí)，如何判斷導(dǎo)數(shù)的符號，要觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式，會發(fā)現(xiàn)x在區(qū)間（-1，0）和（0，+∞）這兩個區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號可以判斷，所以便找到該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這時(shí)就很容易求出最小值了．
（2）先觀察所要正的不等式，發(fā)現(xiàn)和函數(shù)f（x）的形式相似，所以這時(shí)求f（x₂-x₁），并根據(jù)單調(diào)性得到f（x₂-x₁）＞1．經(jīng)過求解及變形得到：ex2-x1＞lne(x2-x1+1)，得到這個式子要證原不等式成立，只需證lne(x2-x1+1)＞ln

e(x2+1)

x1+1

，對于這個不等式是比較容易證的．
（3）對任意的正實(shí)數(shù)a，只要能找到實(shí)數(shù)m（a），使g[m（a）]＜a即可，所以開始尋找符合條件的實(shí)數(shù)m（a）．因?yàn)橹灰�找到就可以了，為了求解m（a）的方便，我們?nèi)�x=2ⁿ，看能不能把n找出來，為了求解n的方便，將g（x）化簡一下，將它變成g（x）=

lnx

x+1

+ln(1+

1

x

)，x=2ⁿ帶入即可．帶入之后得到g(2n)=

ln2n

2n+1

+ln(1+

1

2n

)，所以只要讓每一項(xiàng)分別小于

a

2

即可．然后得到兩個不等式，解出關(guān)于n的不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=ex-

1

x+1

；
∴-1＜x＜0時(shí)，

1

e

＜ex＜1，

1

x+1

＞1，∴f′（x）＜0；
x＞0時(shí)，e^x＞1，0＜

1

x+1

＜1，∴f′（x）＞0，∴x=0時(shí)，f（x）取到最小值1．
（Ⅱ）由題意知：x₂-x₁＞0；
∴f（x₂-x₁）＞f（0），即e(x2-x1)-ln(x2-x1+1)＞1，即e(x2-x1)＞lne(x2-x1+1)；
∴要使：e(x2-x1)＞ln

e(x2+1)

x1+1

，我們來證lne(x2-x1+1)＞ln

e(x2+1)

x1+1

；即證x2-x1+1＞

x2+1

x1+1

；
∵x2-x1+1-

x2+1

x1+1

=

x1(x2-x1)

x1+1

＞0；
∴ex2-x1＞ln

e(x2+1)

x1+1

．
（Ⅲ）∵g（x）=

lnx

x+1

+ln(1+

1

x

)；
令x=2ⁿ，則g（2ⁿ）=

ln2n

2n+1

+ln(1+

1

2n

)，(n∈N*)；
要使：g（2ⁿ）＜a，只要

ln2n

2n

＜

a

2

，且ln(1+

1

2n

)＜

a

2

；
由ln(1+

1

2n

)＜

a

2

，解得n＞-log2(e

a

2

-1)；
又當(dāng)n＞1時(shí)，

ln2n

2n+1

=

nln2

(1+1)n+1

＜

2nln2

n(n-1)

=

2ln2

n-1

；
故只需

2ln2

n-1

＜

a

2

，即n＞

4ln2

a

+1；
設(shè)n0=max2，-log2(e

a

2

-1)，

4ln2

a

+1；
只需取m（a）=2n0+1時(shí)，g（m（a））＜a．

點(diǎn)評：對于第一問，注意通過觀察解析式，找到能判斷導(dǎo)函數(shù)符號的區(qū)間即可求出答案．而第二問的關(guān)鍵是求f（x₂-x₁），第三問的關(guān)鍵時(shí)取x=2ⁿ，然后找到符合條件的n．