已知
a
=(
3
sinx，cosx），
b
=（cosx，-cosx）．
（Ⅰ）當x∈[
π
3
，
7π
12
]時，
a
•
b
+
1
2
=
4
5
，求cos2x；
（Ⅱ）當[
5π
12
，
13π
12
)時，關于x的方程
a
•
b
+
1
2
=m有且只有一個實根，求實數(shù)m的取值范圍．
分析：（Ⅰ）通過
a
•
b
+
1
2
=
4
5
，化簡得到表達式，x∈[
π
3
，
7π
12
]，推出2x-
π
6
∈[
π
2
，π]，利用cos2x=cos[（2x-
π
6
）+
π
6
]求解即可；
（Ⅱ）利用x∈[
5π
12
，
13π
12
)時，推出sin(2x-
π
6
)∈[-1，
3
2
]，關于x的方程
a
•
b
+
1
2
=m有且只有一個實根，就是函數(shù)圖象只有一個公共點，求實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵x∈[
π
3
，
7π
12
]，∴2x-
π
6
∈[
π
2
，π]，
a
•
b
+
1
2
=
4
5
，即
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
=
4
5

∴cos(2x-
π
6
)=-
3
5
∴cos2x=cos[(2x-
π
6
)+
π
6
]=-
4+3
3
10

（Ⅱ）當x∈[
5π
12
，
13π
12
)時，2x-
π
6
∈[
2π
3
，2π)，∴sin(2x-
π
6
)∈[-1，
3
2
]
a
•
b
+
1
2
=m有且只有一個實根，令X=2x-
π
6
，在坐標系中畫出y=sinX的圖象與y=m的圖象，圖象只有一個交點，
由圖可得：m=-1或0≤m≤
3
2

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)值的求法，平面向量的數(shù)量積的應用，數(shù)形結合求出函數(shù)的圖象的交點與方程的根的關系，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(
3
sinx， m+cosx)，
b
=(cosx，-m+cosx)，且f（x）=
a
×
b

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈[-
π
6
，
π
3
]時，f（x）的最小值是-4，求此時函數(shù)f（x）的最大值，并求出相應的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(
3
sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)
（1）若
a
•
b
=1，且x∈[-
π
4
，
π
4
]，求x的值；
（2）設f(x)=
a
•
b
，求f（x）的周期及單調(diào)減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知
a
=(
3
sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)
（1）若
a
•
b
=1，且x∈[-
π
4
，
π
4
]，求x的值；
（2）設f(x)=
a
•
b
，求f（x）的周期及單調(diào)減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知
a
=(
3
sinx， m+cosx)，
b
=(cosx，-m+cosx)，且f（x）=
a
×
b

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈[-
π
6
，
π
3
]時，f（x）的最小值是-4，求此時函數(shù)f（x）的最大值，并求出相應的x的值．

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