【題目】已知橢圓 的離心率為 ,左右焦點分別為F1 , F2 , 以橢圓短軸為直徑的圓與直線 相切.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)過點F1、斜率為k1的直線l1與橢圓E交于A,B兩點,過點F2、斜率為k2的直線l2與橢圓E交于C,D兩點,且直線l1 , l2相交于點P,若直線OA,OB,OC,OD的斜率kOA , kOB , kOC , kOD滿足kOA+kOB=kOC+kOD , 求證:動點P在定橢圓上,并求出此橢圓方程.
【答案】解:(Ⅰ)由以橢圓短軸為直徑的圓與直線 相切,則圓心O到直線的距離d=b,
∴b=d= =
由e= = ,則a=2c,
a2=c2+b2=c2+3,解得:a=2,c=1,
∴橢圓E的方程
(Ⅱ)當直線l1或l2斜率不存在時,P點坐標為(﹣1,0)或(1,0).
當直線l1、l2斜率存在時,l1的方程為y=k1(x+1),l2的方程為y=k2(x﹣1),
設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),C(x3 , y3),D(x4 , y4),
聯(lián)立 ,得到(3+4k12)x2+8k12x+4k12﹣12=0,
∴x1+x2=﹣ ,x1x2= .
同理x3+x4= ,x3x4= .(*)
∵kOA= ,kOB= ,kOA+kOB= + = = ,
同理可得:kOC+kOD= .
由kOA+kOB=kOC+kOD , 則 = .
整理得:k1k2=﹣3.
設(shè)點P(x,y),則 =﹣3,(x≠±1)
整理得: ,(x≠±1)
由當直線l1或l2斜率不存在時,P點坐標為(﹣1,0)或(1,0)也滿足,
∴橢圓的標準方程:
【解析】(Ⅰ)利用點到直線的距離公式,即可求得b,利用橢圓的離心率及a2=c2+b2 , 即可求得a的值,即可求得橢圓方程;(Ⅱ)當直線l1或l2斜率不存在時,求得P點坐標,當直線l1、l2斜率存在時,可得l1的方程為y=k1(x+1),l2的方程為y=k2(x﹣1).與橢圓方程聯(lián)立即可得出根與系數(shù)的關(guān)系,再利用斜率計算公式和已知即可得出k1與k2的關(guān)系,利用直線的斜率,即可求得橢圓方程.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在常數(shù),使得數(shù)列滿足對一切恒成立,則稱為“可控數(shù)列”.
(1) 若數(shù)列的通項公式為,試判斷數(shù)列是否為“可控數(shù)列”?并說明理由;
(2) 若是首項為5的“可控數(shù)列”,且單調(diào)遞減,問是否存在常數(shù),使?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;
(3) 若“可控數(shù)列”的首項為2,,求不同取值的個數(shù)及最大值.(直接寫出結(jié)果)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A袋中有1個紅球和1個黑球,B袋中有2個紅球和1個黑球,A袋中任取1個球與B袋中任取1個球互換,這樣的互換進行了一次,求:
(1)A袋中紅球恰是1個的概率;
(2)A袋中紅球至少是1個的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|x+1|.
(1)求函數(shù)f(x)的值域M;
(2)若a∈M,試比較|a﹣1|+|a+1|, , 的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校期中考試后,按照學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀進行統(tǒng)計,得到如下列聯(lián)表:
優(yōu)秀 | 不優(yōu)秀 | 總計 | |
文科 | 60 | 140 | 200 |
理科 | 265 | 335 | 600 |
總計 | 325 | 475 | 800 |
(1)畫出列聯(lián)表的等高條形圖,并通過圖形判斷數(shù)學(xué)成績與文理分科是否有關(guān);
(2)利用獨立性檢驗,分析文理分科對學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否有影響.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊, .
(Ⅰ)求角B的大。
(Ⅱ)若△ABC邊AC上的高h=b,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E為DD1的中點.求證:
(1)BD1∥平面EAC;
(2)平面EAC⊥平面AB1C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=kx3+3(k﹣1)x2﹣k2+1在x=0,x=4處取得極值.
(1)求常數(shù)k的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(3)設(shè)g(x)=f(x)+c,且x∈[﹣1,2],g(x)≥2c+1恒成立,求c的取值范圍.
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