Question

5．已知函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$），x∈R
（1）函數(shù)的最小正周期；
（2）函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；
（3）函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)x的值；
（4）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出相應(yīng)的問題的答案．

解答 解：（1）函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
（2）-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{2}$+4kπ≤x≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{2}$+4kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z，
（3）當(dāng)$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$時(shí)，即x=-$\frac{π}{2}$+4kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為-3，
（4）由（2）知，函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
∴函數(shù)f（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]單調(diào)遞增，
∴f（-$\frac{π}{2}$）=3sin（$\frac{1}{2}$×$（-\frac{π}{2}）$-$\frac{π}{4}$）=-3，f（$\frac{π}{2}$）=3sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{4}$）=0，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇-3，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的周期，最值，單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．