Question

13．如圖，M，N分別是?ABCD的邊AD，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線(xiàn)AC的三等分點(diǎn)．求證：B，E，M三點(diǎn)共線(xiàn)，且B，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線(xiàn)．

Answer 1

分析 ?ABCD中，用向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{BE}$與$\overrightarrow{EM}$，證明$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EM}$=$\overrightarrow{BE}$，即證B，E，M三點(diǎn)共線(xiàn)，同理可證B，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線(xiàn)．

解答 解：?ABCD中，M是邊AD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是對(duì)角線(xiàn)AC的三等分點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）；
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{EM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EM}$=（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$）$\overrightarrow{AD}$-（$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BE}$，
∴B，E，M三點(diǎn)共線(xiàn)，
同理可證：B，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用平面向量證明三點(diǎn)共線(xiàn)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)利用平面向量共線(xiàn)去證明，是基礎(chǔ)題目．