Question

8．已知f（n）=${∫}_{0}^{\frac{π}{n}}$sin（nx）dx，若對于?∈R，f（1）+f（2）+…+f（n）＜|x+3|+|x-1|恒成立，則正整數(shù)n的最大值為3．

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分計算出f（n），再根據(jù)絕對值的幾何意義求出|x+3|+|x-1|的最小值為4，繼而得到n的最大值．

解答 解：f（n）=${∫}_{0}^{\frac{π}{n}}$sin（nx）dx=-$\frac{1}{n}$cosnx${|}_{0}^{\frac{π}{n}}$=-$\frac{1}{n}$（cosπ-cos0）=$\frac{2}{n}$，
根據(jù)絕對值的幾何意義，得到|x+3|+|x-1|≥4，
∵對于?∈R，f（1）+f（2）+…+f（n）＜|x+3|+|x-1|恒成立，
∴$\frac{2}{1}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$+…+$\frac{2}{n}$=3+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$++…+$\frac{2}{n}$＜4，
∴正整數(shù)n的最大值為3，
故答案為：3．

點評 本題考查了定積分的計算以及絕對值的幾何意義，以及函數(shù)恒成立的問題，屬于中檔題．