Question

3．設平面區(qū)域D是由雙曲線y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的兩條漸近線和拋物線y²=-8x的準線所圍成的三角形區(qū)域（含邊界），若點（x，y）∈D，則$\frac{2y-x+1}{x+1}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，$\frac{1}{3}$]
• B． [-1，1]
• C． [0，$\frac{1}{3}$]
• D． [0，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 先求出雙曲線的兩條漸近線為，拋物線y²=-8x的準線為x=2，結合圖象可得在點B（2，-1）時，$\frac{y+1}{x+1}$=0，在點O（0，0）時，$\frac{y+1}{x+1}$=1，由此求得目標函數(shù)$\frac{2y-x+1}{x+1}$的取值范圍．

解答 解：雙曲線y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的兩條漸近線為y=$±\frac{1}{2}x$，拋物線y²=-8x的準線為x=2．
故可行域即圖中陰影部分，（含邊界）．
目標函數(shù)z=$\frac{2y-x+1}{x+1}$=2•$\frac{y+1}{x+1}$-1中的$\frac{y+1}{x+1}$表示（x，y）與（-1，-1）連線的斜率，
故在點B（2，-1）時，$\frac{y+1}{x+1}$=0，在點O（0，0）時，$\frac{y+1}{x+1}$=1，
∴2•$\frac{y+1}{x+1}$-1∈[-1，1]
故選：B．

點評 本題主要考查拋物線、雙曲線的標準方程，以及簡單性質(zhì)，簡單的線性規(guī)劃問題，屬于中檔題．