Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-cx（c∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）≤x²恒成立，求c的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)f（x）有兩個相異零點x₁，x₂，求證x₁•x₂＞e²．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）將不等式f（x）≤x²恒成立進行轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)即可求c的取值范圍；
（Ⅲ）利用函數(shù)零點的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，進行轉(zhuǎn)化即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-cx，∴x＞0，
f′（x）=

1

x

-c=

1-cx

x

．
當(dāng)c≤0時，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)c＞0時，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

c

），f（x）單調(diào)減區(qū)間為（

1

c

，+∞）
（ II）∵f（x）≤x²，∴l(xiāng)nx-cx≤x²，
∴c≥

lnx

x

-x．
設(shè)g（x）=

lnx

x

-x，∴g′（x）=

1-lnx-x2

x2

，
∴g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減．
∴g（x）的最大值為g（1）=-1，∴c≥-1．
（III）∵f（x）有兩個相異零點，∴設(shè)lnx₁=cx₁，lnx₂=cx₂，①
即lnx₁-lnx₂=c（x₁-x₂），
∴

lnx1-lnx

x1-x2

=c，②
而x₁•x₂＞e²，等價于：lnx₁+lnx₂＞2，即c（x₁+x₂）＞2，③
由①②③得：

lnx1-lnx2

x1-x2

（x₁+x₂）＞2，
不妨設(shè)x₁＞x₂＞0，則t=

x1

x2

＞1，
上式轉(zhuǎn)化為：lnt＞

2(t-1)

t+1

，t＞1
設(shè)H（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1，
則H′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
故函數(shù)H（t）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
∴H（t）＞H（1）=0，
即不等式lnt＞

2(t-1)

t+1

成立，
故所證不等式x₁•x₂＞e²成立．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系和應(yīng)用，以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和零點問題，綜合性較強，運算量較大．