Question

已知函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：解析式含有絕對(duì)值，分類討論，利用對(duì)a的討論把解析式具體化，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出定義域下的值域即可．

解答： 解：當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=（x-

1

2

）²+a+

3

4

．
a＜

1

2

，函數(shù)f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減．
從而函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1；
a≥

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（

1

2

）=

3

4

+a，且f（

1

2

）≤f（a）；
當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f（x）=（x+

1

2

）²-a+

3

4

．
a≤-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（-

1

2

）=

3

4

-a，且f（-

1

2

）≤f（a）；
a＞-

1

2

，函數(shù)f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞減，
從而函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1．
綜上得，a≤-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為

3

4

-a；當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為a²+1；a≥

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為

3

4

+a．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生分類討論的思想，還考查了絕對(duì)值函數(shù)的對(duì)絕對(duì)值的討論及二次函數(shù)在定義域下求值域．