Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n+2，且a₂=3，b_n=ln（a_n）+ln（a_n+1）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令${c_n}={e^{-{b_n}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

解答 解：（1）∵a_n+1-a_n=2，∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且公差為2，
∵a₂=3，∴a₁=1，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=ln（a_n）+ln（a_n+1）=ln（a_na_n+1）=ln[（2n-1）（2n+1）]．
（2）${c_n}={e^{-{b_n}}}=\frac{1}{{{e^{b_n}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}）+\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．