Question

18．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，f（x）+g（x）=e^x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ） 求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ） 求滿足f（1-m）+f（1-m²）＜0的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件便可得到-f（x）+g（x）=e^-x，這樣聯(lián)立f（x）+g（x）=e^x即可解出f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的解析式便可看出f（x）為增函數(shù)，從而由f（1-m）+f（1-m²）＜0，及f（x）的單調(diào)性和奇偶性即可得到1-m＜m²-1，解該不等式即可得出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（-x）+g（-x）=e^-x，f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)；
∴-f（x）+g（x）=e^-x，聯(lián)立f（x）+g（x）=e^x可得：
f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，$g（x）=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$；
（Ⅱ）$f（x）=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，x增大時，顯然f（x）增大，∴在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)；
∴f（1-m）＜f（m²-1）；
∴1-m＜m²-1；
解得m＜-2，或m＞1；
∴實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-2）∪（1，+∞）．

點評 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，增函數(shù)的定義，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式，解一元二次不等式．