Question

7．求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（2+a）x+2alnx的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（2+a）x+2alnx，函數(shù)的定義域是（0，+∞），
∴f′（x）=x-（2+a）+$\frac{2a}{x}$=$\frac{（x-2）（x-a）}{x}$，
①a≤0時(shí)：令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
②0＜a＜2時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜a，令f′（x）＜0，解得：a＜x＜2，
∴f（x）在（a，2）遞減，在（0，a），（2，+∞）遞增；
③a=2時(shí)：f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）遞增；
④a＞2時(shí)：令f′（x）＞0，解得：x＞a或x＜2，令f′（x）＜0，解得：2＜x＜a，
∴f（x）在（2，a）遞減，在（0，2），（a，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．