Question

【題目】設(shè)定義域為R的函數(shù) （a，b為實數(shù)）．
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求a，b的值；
（2）當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時，證明對任何實數(shù)x，c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

∴f（0）=0，

即 =0，

∴a=1，

∴ ，

∵f（1）=﹣f（﹣1），

∴ ，

∴b=2

（2）解：f（x）= = =﹣ + ，

∵2x＞0，

∴2x+1＞1，0＜ ＜1，

從而﹣ ＜f（x）＜ ；

而c2﹣3c+3=（c﹣ ）2+ ≥ 對任何實數(shù)c成立，

∴對任何實數(shù)x、c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立

【解析】（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，得到f（0）=0，從而建立方程可解a，b．（2）利用函數(shù)的奇偶性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的最大值，和函數(shù)y=c2﹣3c+3最小值之間的關(guān)系，進行證明即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担辉诠�共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．