Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

1+x2

．
（1）分別計算f（2）+f（

1

2

），f（3）+f（

1

3

），f（4）+f（

1

4

）；
（2）歸納猜想一般結(jié)論，并給出證明；
（3）求值：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2013

）．

Answer 1

考點：函數(shù)的值,歸納推理

專題：探究型

分析：（1）把x=2、

1

2

代入解析式求出f（2）+f（

1

2

）的值，同理可得f（3）+f（

1

3

）、f（4）+f（

1

4

）的值；
（2）根據(jù)（1）中式子的特點猜想：f(x)+f(

1

x

)=1，再代入解析式化簡求值；
（3）根據(jù)（2）證明的結(jié)論求出式子的值．

解答： 解：（1）由題意得，f（x）=

x2

1+x2

，
所以f（2）+f（

1

2

）=

22

1+22

+

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

22

1+22

+

1

1+22

=1，
同理可得，f（3）+f（

1

3

）=1，f（4）+f（

1

4

）=1；
（2）由（1）猜想：f(x)+f(

1

x

)=1，
證明：f(x)+f(

1

x

)=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=1；
（3）由（2）得，
原式=f（1）+[f（2）+f（

1

2

）]+[f（3）+f（

1

3

）]+…[f（2013）+f（

1

2013

）]
=

1

2

+2012=

4025

2

．

點評：本題考查函數(shù)的值，以及歸納推理，由特殊的式子的特點和規(guī)律得到一般性的結(jié)論，再證明結(jié)論的成立，屬于中檔題．