Question

在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，E、F、G、H分別為△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心，
（1）證明：E、F、G、H四點共面；
（2）證明：平面EFGH∥平面ABCD．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）分別延長P、PF、PG、PH交對邊于M、N、Q、R，依題意，易證MNQR為平行四邊形，繼而可得

EG

=

EF

+

EH

，由共面向量定理得，E、F、G、H四點共面；
（2）

|PE|

|PM|

=

|PF|

|PN|

=

2

3

⇒EF∥MN，繼而可得EF∥底面ABCD，同理可得EH∥底面ABCD，又EF∩EH=E，利用面面平行的判定定理即可證得平面EFGH∥平面ABCD．

解答： 證明：（1）分別延長P、PF、PG、PH交對邊于M、N、Q、R，

∵E、F、G、H分別為△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心，
∴M、N、Q、R為所在邊的中點，順次連接MNQR，所得四邊形為平行四邊形，
且有

PE

=

2

3

PM

，

PF

=

2

3

PN

，

PG

=

2

3

PQ

，

PH

=

2

3

PR

，
∵M(jìn)NQR為平行四邊形，
∴

EG

=

PG

-

PE

=

2

3

PQ

-

2

3

PM

=

2

3

MQ

=

2

3

（

MN

+

MR

）=

2

3

（

PN

-

PM

）+

2

3

（

PR

-

PM

）=

2

3

（

3

2

PF

-

3

2

PE

）+

2

3

（

3

2

PH

-

3

2

PE

）=

EF

+

EH

，
由共面向量定理得，E、F、G、H四點共面；
（2）∵

PE

=

2

3

PM

，

PF

=

2

3

PN

，
∴

|PE|

|PM|

=

|PF|

|PN|

=

2

3

，∴EF∥MN，而EF?平面EFGH，MN?底面ABCD，∴EF∥底面ABCD，
同理可得EH∥底面ABCD，又EF∩EH=E，
∴平面EFGH∥平面ABCD．

點評：本題考查平面與平面平行的判定，考查共面向量基本定理的應(yīng)用，考查作圖、推理與證明的能力，屬于難題．