已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（
2
，0），右頂點為（1，0）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=k（x-1）（k＞0）與雙曲線C有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞3（其中O為原點），求k的取值范圍．
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：計算題
分析：（1）由雙曲線的右焦點與右頂點易知其標準方程中的c、a，進而求得b，則雙曲線標準方程即得；
（2）首先把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，然后消y得x的方程，由于直線與雙曲線恒有兩個不同的交點，則關(guān)于x的方程必為一元二次方程且判別式大于零，由此求出k的一個取值范圍；再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系用k的代數(shù)式表示出xA+xB，xAxB，進而把條件
OA
•
OB
＞3轉(zhuǎn)化為k的不等式，又求出k的一個取值范圍，最后求k的交集即可．
解答： 解：（1）設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），
由已知得a=1，c=
2

∴b2=c2-a2=1．
∴雙曲線C的方程為x2-y2=1；
（2）將y=k（x-1）代入x2-y2=1得（1-k2）x2+2k2x-（k2+1）=0，
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得
1-k2≠0
△＞0

即k2≠1．①
設A（xA，yA），B（xB，yB），
則xA+xB=-
2k2
1-k2
=
2k2
k2-1
，xAxB=
k2+1
k2-1
，由
OA
•
OB
＞3得xAxB+yAyB＞3
而xAxB+yAyB=xAxB+（kxA-k）（kxB-k）=（1+k2）xAxB-k2（xA+xB）+k2=
k2+1
k2-1
．
于是
k2+1
k2-1
＞3，即有
2-k2
k2-1
＞0，解得，1＜k2＜2   ②
由①、②得1＜k2＜2，
故k的取值范圍為．（-
2
，-1）∪（1，
2
）．
點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質(zhì)以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，綜合性強，考察字母運算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
a(x-1)
x+1
．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設p，q∈R+，且p＞q，求證：
p-q
lnp-lnq
＜
p+q
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1．證明：
（Ⅰ）a2+b2+c2≥
1
3
；
（Ⅱ）
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的f（x）滿足f（a）f（b）=f（a+b），（a，b∈R），且f(
1
2
)=
2
，則f（3）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn若對任意自然數(shù)n都有
Sn
Tn
=
2n-3
4n-3
，則
a9
b5+b7
+
a3
b8+b4
的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知2x+3y=12，利用柯西不等式求x2+y2的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從裝有除顏色外完全相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，則對立的兩個事件是（　�。�
A、至少有1個白球，都是白球
B、至少有1個白球，至少有1個紅球
C、恰有1個白球，恰有2個白球
D、至少有1個白球，都是紅球

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且acosC+
1
2
c=b．
（1）求A的大�。�
（2）若a=
3
，求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{bn}，bn=2-
1
bn-1
（n≥2，n∈N*），數(shù)列{an}滿足an=
1
bn-1
．
（1）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）若a1=-
7
2
，求數(shù)列{bn}中的最大項和最小項的值；
（3）若數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn≥S6（n∈N*），求a1的取值范圍．

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