Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)F為A₁D的中點(diǎn)，
(1)求證：A₁B∥平面AFC；
(2)求證：平面A₁B₁CD⊥平面AFC．

Answer 1

證明：(1)連接BD交AC于點(diǎn)O，連接FO，則點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)F為A₁D的中點(diǎn)，
∴A₁B∥FO，
又A₁B平面AFC，F(xiàn)O平面AFC，
∴A₁B∥平面AFC；
(2)在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接B₁D，
∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B₁BD，
∴AC⊥B₁D，
又∵CD⊥平面A₁ADD₁，AF平面A₁ADD，
∴CD⊥AF，
又∵AF⊥A₁D，
∴AF⊥平面A₁B₁CD，
而AF平面AFC，
∴平面A₁B₁CD⊥平面AFC。