Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

a_n-1（n≥2，n∈N^*）．若a_n=1007，則n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

a_n-1（n≥2），得

1

n

a_n+a_n=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

a_n-1+

1

n

an（n≥2）．整理可得

n+1

n

an=a_n+1（n≥2），于是

an+1

an

=

n+1

n

（n≥2），利用累乘法即可求得a_n，再由a_n=1007可求答案，注意n的范圍．

解答： 解：由a_n=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

a_n-1（n≥2），
得

1

n

a_n+a_n=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

a_n-1+

1

n

an（n≥2）．
∴

n+1

n

an=a_n+1（n≥2），則

an+1

an

=

n+1

n

（n≥2），
又a₁=1，∴a₂=a₁=1，
∴an=a2•

a3

a2

•

a4

a3

…

an

an-1

=1×

3

2

×

4

3

×…×

n

n-1

=

n

2

（n≥2），
∵a_n=1007，即

n

2

=1007，∴n=2014，
故答案為：2014．

點評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項，累乘法是求數(shù)列通項公式的常用方法，要準(zhǔn)確把握其解決方法及使用條件．