Question

18．當(dāng)P為何值時(shí)，不等式$\frac{{x}^{2}+px-2}{{x}^{2}-x+1}$＜2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立？

Answer 1

分析 原不等式可化為x²-（2+p）x+4＞0恒成立，再由判別式小于0，解二次不等式即可得到所求范圍．

解答 解：不等式$\frac{{x}^{2}+px-2}{{x}^{2}-x+1}$＜2
即為$\frac{{x}^{2}-（2+p）x+4}{{x}^{2}-x+1}$＞0，
由x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
即有x²-（2+p）x+4＞0恒成立，
即有判別式△=（2+p）²-16＜0，
解得-6＜p＜2．
故當(dāng)-6＜p＜2時(shí)，原不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式成立問(wèn)題的解法，注意轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．