Question

若拋物線y²=2px（p＞0）上三個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，則這三個(gè)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離關(guān)系式（　　）

• A、成等差數(shù)列
• B、既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列
• C、成等比數(shù)列
• D、既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與解析幾何的綜合,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先設(shè)三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列可得到其橫坐標(biāo)也成等差數(shù)列，然后表示出三點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，即可得到答案．

解答： 解：設(shè)這三點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）C（x₃，y₃）
因?yàn)榭v坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，即 y₁²，y₂²，y₃²成等差數(shù)列，三點(diǎn)縱坐標(biāo)分別代入拋物線方程，
可知三點(diǎn)橫坐標(biāo)亦成等差數(shù)列．
即2x₂=x₁+x₂AF=x₁+

p

2

BF=x₂+

p

2

CF=x₃+

p

2

AF+CF=x₁+x₃+

p

2

+

p

2

=x₁+x₃+p=2x₂+p=2BF
所以2BF=AF+CF，這三個(gè)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列．
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)，即拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離．