Question

已知F₁、F₂分別是雙曲線L：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₁作斜率為2的直線l交雙曲線L的左支上方于點(diǎn)P，若∠F₁PF₂為直角，則此雙曲線的離心率等于

5

．

Answer 1

分析：先得出過(guò)點(diǎn)F₁且斜率為2的直線l的方程，再利用垂直關(guān)系得出直線PF₁的方程，求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)即為P的坐標(biāo)，利用P在雙曲線上，其坐標(biāo)適合方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程得出關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，最后把等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為用a，c來(lái)表示即可求雙曲線C的離心率．

解答：解：由題意得，過(guò)點(diǎn)F₁作斜率為2的直線l為y=2（x+c），
又因∠F₁PF₁為直角，∴直線PF₁的斜率為-

1

2

，直線PF₁的方程為：y=-

1

2

（x-c），
兩直線聯(lián)立，解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3c

5

，

4c

5

），如圖．
將P的坐標(biāo)代入雙曲線方程，得

(- 3c 5 )2

a2

-

( 4c 5 )2

b2

=1，
即9b²c²-16a²c²=25a²b²，又b²=c²-a²，
代入得：9（c²-a²）c²-16a²c²=25a²（c²-a²）．
化簡(jiǎn)得：9c⁴-50a²c²+25a⁴=0．
解得

c

a

=

5

．
故答案為：

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)雙曲線性質(zhì)中離心率的考查．求離心率，只要找到a，c之間的等量關(guān)系即可求．是基礎(chǔ)題．