【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(1)證明:PC⊥AD;
(2)求二面角A﹣PC﹣D的正弦值;
(3)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長(zhǎng).

【答案】
(1)[解法一] 如圖,以A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B(﹣ , ,0),P(0,0,2).

證明:易得 =(0,1,﹣2), =(2,0,0),于是 =0,所以PC⊥AD.

[解法二] 證明:由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,

又由AD⊥AC,PA∩AC=A,故AD⊥平面PAC,

又PC平面PAC,

所以PC⊥AD.


(2)[解法一] 解: =(0,1,﹣2), =(2,﹣1,0),設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),則

取z=1,則以 =(1,2,1).又平面PAC的一個(gè)法向量為 =(1,0,0),于是cos< >= = ,sin< >=

所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值為

[解法二] 解:如圖,作AH⊥PC于點(diǎn)H,連接DH,

由PC⊥AD,PC⊥AH,可得PC⊥平面ADH,因此DH⊥PC,從而∠AHD為二面角A﹣PC﹣D的平面角.

在RT△PAC中,PA=2,AC=1,所以AH= ,由(1)知,AD⊥AH,在RT△DAH中,DH= = ,因此sin∠AHD= = .所以二面角﹣PC﹣D的正弦值為


(3)解法一:設(shè)E(0,0,h),其中h∈[0,2],由此得 =( ,﹣ ,h).由 =(2,﹣1,0),故cos< >= = =

所以 =cos30°= ,解得h= ,即AE=

[解法二] 解:如圖,因?yàn)椤螦DC<45°,故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,

設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF,故∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CD所成的角.

由于BF∥CD,故∠AFB=∠ADC,在RT△DAC中,CD= ,sin∠ADC= ,故sin∠AFB=

在△AFB中,由 ,AB= ,sin∠FAB=sin135°= ,可得BF= ,

由余弦定理,BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB,得出AF= ,

設(shè)AE=h,在RT△EAF中,EF= =

在RT△BAE中,BE= = ,

在△EBF中,因?yàn)镋F<BE,從而∠EBF=30°,

由余弦定理得到,cos30°= ,

解得h= ,

即AE=


【解析】解法一(1)以A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,通過得出 =0,證出PC⊥AD.(2)求出平面PCD,平面PCD的一個(gè)法向量,利用兩法向量夾角求解.(3)設(shè)E(0,0,h),其中h∈[0,2],利用cos< >=cos30°= ,得出關(guān)于h的方程求解即可.解法二:(1)通過證明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD.(2)作AH⊥PC于點(diǎn)H,連接DH,∠AHD為二面角A﹣PC﹣D的平面角.在RT△DAH中求解(3)因?yàn)椤螦DC<45°,故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF,故∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CD所成的角.在△EBF中,因?yàn)镋F<BE,從而∠EBF=30°,由余弦定理得出關(guān)于h的方程求解即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解用空間向量求直線間的夾角、距離的相關(guān)知識(shí),掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1﹣x)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是(

A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)
B.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(1)
C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(﹣2)
D.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(2)

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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知cosA= ,sinB= C.
(1)求tanC的值;
(2)若a= ,求△ABC的面積.

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【題目】某校高三課外興趣小組為了解高三同學(xué)高考結(jié)束后是否打算觀看2018年足球世界杯比賽的情況,從全校高三年級(jí)1500名男生、1000名女生中按分層抽樣的方式抽取125名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,情況如下表:

打算觀看

不打算觀看

女生

20

b

男生

c

25

1)求出表中數(shù)據(jù)bc;

2)判斷是否有99%的把握認(rèn)為觀看2018年足球世界杯比賽與性別有關(guān);

3)為了計(jì)算10人中選出9人參加比賽的情況有多少種,我們可以發(fā)現(xiàn)它與10人中選出1人不參加比賽的情況有多少種是一致的.現(xiàn)有問題:在打算觀看2018年足球世界杯比賽的同學(xué)中有5名男生、2名女生來(lái)自高三(5)班,從中推選5人接受校園電視臺(tái)采訪,請(qǐng)根據(jù)上述方法,求被推選出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

K0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

附:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知直線l,半徑為4的圓C與直線l相切,圓心Cx軸上且在直線l的右上方.

Ⅰ)求圓C的方程;

Ⅱ)過點(diǎn)M (2,0)的直線與圓C交于AB兩點(diǎn)(Ax軸上方),問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N,使得x軸平分∠ANB?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】深受廣大球迷喜愛的某支歐洲足球隊(duì).在對(duì)球員的使用上總是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,為了考察甲球員對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn),現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):

球隊(duì)勝

球隊(duì)負(fù)

總計(jì)

甲參加

22

b

30

甲未參加

c

12

d

總計(jì)

30

e

n

(1)求b,c,d,e,n的值,據(jù)此能否有97.7%的把握認(rèn)為球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān);

(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個(gè)位置,且出場(chǎng)率分別為:0.2,0.5,0.2,0.1,當(dāng)出任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時(shí),球隊(duì)輸球的概率依次為:0.4,0.2,0.6,0.2.則:

當(dāng)他參加比賽時(shí),求球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率;

當(dāng)他參加比賽時(shí),在球隊(duì)輸了某場(chǎng)比賽的條件下,求乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率;

附表及公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某印刷廠為了研究單冊(cè)書籍的成本(單位:元)與印刷冊(cè)數(shù)(單位:千冊(cè))之間的關(guān)系,在印制某種書籍時(shí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),相關(guān)數(shù)據(jù)見下表:

印刷冊(cè)數(shù)(千冊(cè))

單冊(cè)成本(元)

根據(jù)以上數(shù)據(jù),技術(shù)人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個(gè)回歸方程,方程甲:,方程乙:.

(1)為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù).

①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到);

印刷冊(cè)數(shù)(千冊(cè))

單冊(cè)成本(元)

模型甲

估計(jì)值

殘差

模型乙

估計(jì)值

殘差

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和,并通過比較,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.

(2)該書上市之后,受到廣大讀者熱烈歡迎,不久便全部售罄,于是印刷廠決定進(jìn)行二次印刷,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,新需求量為千冊(cè),若印刷廠以每?jī)?cè)元的價(jià)格將書籍出售給訂貨商,求印刷廠二次印刷千冊(cè)獲得的利潤(rùn)?(按(1)中擬合效果較好的模型計(jì)算印刷單冊(cè)書的成本).

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【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)的迅速發(fā)展,越來(lái)越多的消費(fèi)者開始選擇網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物這種消費(fèi)方式某營(yíng)銷部門統(tǒng)計(jì)了2019年某月錦州的十大特產(chǎn)的網(wǎng)絡(luò)銷售情況得到網(wǎng)民對(duì)不同特產(chǎn)的最滿意度和對(duì)應(yīng)的銷售額(萬(wàn)元)數(shù)據(jù),如下表:

特產(chǎn)種類

最滿意度

銷售額(萬(wàn)元)

求銷量額關(guān)于最滿意度的相關(guān)系數(shù);

我們約定:銷量額關(guān)于最滿意度的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值在以上(含)是線性相關(guān)性較強(qiáng);否則,線性相關(guān)性較弱.如果沒有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān),則采取“末位淘汰”制(即銷售額最少的特產(chǎn)退出銷售),并求在剔除“末位淘汰”的特產(chǎn)后的銷量額關(guān)于最滿意度的線性回歸方程(系數(shù)精確到).

參考數(shù)據(jù):,,.

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù).其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:,.線性相關(guān)系數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2019年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車制造設(shè)備,通過市場(chǎng)分析,全年需投入固定成本3000萬(wàn)元,每生產(chǎn)x(百輛),需另投入成本萬(wàn)元,且,由市場(chǎng)調(diào)研知,每輛車售價(jià)6萬(wàn)元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

1)求出2019年的利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤(rùn)=銷售額成本)

22019年產(chǎn)量為多少(百輛)時(shí),企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).

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