Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-bx²，a，b∈R（1）若函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切； 
①求實(shí)數(shù)a，b的值；      
②求函數(shù)f（x）在[

1

e

，e]上的最大值；
③當(dāng)b=0時(shí)，若不等式f（x）≥m+x對(duì)所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程，得到切線的斜率和切點(diǎn)，進(jìn)而得到a，b；
②求出導(dǎo)數(shù)，求出極值和端點(diǎn)的函數(shù)值，比較即可得到最大值；
③當(dāng)b=0時(shí)，即有alnx≥m+x對(duì)所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，即m≤alnx-x對(duì)所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，令h（a）=alnx-x，求出最小值，再求-x的最小值即可．

解答： 解：①函數(shù)f（x）=alnx-bx²，的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

a

x

-2bx，
由于函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切，則a-2b=0，-b=-

1

2

，
解得a=1，b=

1

2

；
②f（x）=lnx-

1

2

x²，f′（x）=

1

x

-x，f′（x）=0，解得x=1，1∈[

1

e

，e]，
且f（1）=-

1

2

，f（

1

e

）=-1-

1

2e2

，f（e）=1-

1

2

e²，
則函數(shù)f（x）在[

1

e

，e]上的最大值為：f（1）=-

1

2

；
③當(dāng)b=0時(shí)，不等式f（x）≥m+x對(duì)所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
則alnx≥m+x對(duì)所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
即m≤alnx-x對(duì)所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
令h（a）=alnx-x，則h（a）為一次函數(shù)，
由于x∈（1，e²]，則lnx＞0，在a∈[0，

3

2

]上單調(diào)遞增，
則h（a）_min=h（0）=-x，即有m≤-x對(duì)所有的x∈（1，e²]都成立．
則m≤（-x）_min=-e²．
即有實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-e²]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程、求極值和最值，考查不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．