Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對任意正整數(shù)n，都有a_n=$\frac{3}{4}{S_n}$+2成立．記b_n=log₂a_n． 
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：$\frac{1}{15}≤{T_n}＜\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n=2n+1，
（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，再利用放縮法即可證明．

解答 解：（1）在${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$中，令n=1得a₁=8．
因?yàn)閷θ我庹�整�?shù)n，都有${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2①$成立，n≥2時(shí)，${a_{n-1}}=\frac{3}{4}{S_{n-1}}+2②$，
②-①得，${a_n}-{a_{n-1}}=\frac{3}{4}{a_{n-1}}$，所以a_n+1=4a_n．
又a₁≠0，所以數(shù)列{a_n}是以a₁=8為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，即${a_n}=8•{4^{n-1}}={2^{2n+1}}$，
所以${b_n}={log_2}{2^{2n+1}}=2n+1$．
（2）由題意及（1）知${c_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{n}{3（2n+3）}$．
由于T_n為單調(diào)增函數(shù)，則$\frac{1}{15}={T_1}≤{T_n}＜\frac{1}{6}$，
故$\frac{1}{15}≤{T_n}＜\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)求和以及放縮法證明不等式，屬于中檔題．