Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，且x≥0時，f（x）=ln（x²-2x+2），
（1）當x＜0時，求f（x）解析式；
（2）寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）x＜0時，-x＞0，代入已知x≥0時，f（x）=ln（x²-2x+2），可得f（-x）=ln（x²+2x+2），根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可求得f（x）=ln（x²+2x+2）
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的單調(diào)性分別求解兩段函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可

解答：解：（1）x＜0時，-x＞0
∵x≥0時f（x）=ln（x²-2x+2）
∴f（-x）=ln（x²+2x+2）（2分）
∵y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）（4分）
x＜0時，f（x）=ln（x²+2x+2）（6分）
∴f(x)=

ln(x2- 2x+2)，x≥0 ln(x2+2x+2)，x＜0

（8分）
（2）由（1）知x＜0時，f（x）=ln（x²+2x+2），根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（-1，0）
x≥0時f（x）=ln（x²-2x+2），根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（1，+∞）
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：（-1，0），（1，+∞）

點評：本題主要考查了利用偶函數(shù)的對稱性求解函數(shù)的解析式，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，（2）中對每段函數(shù)求解單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域．