Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)和為105，且a₂₀=2a₅．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；   
（Ⅱ）記b_n=

an•2n-1

7

．求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，由題意列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求出首項(xiàng)和公差，再代入通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即可；
（Ⅱ）根據(jù)（I）和條件求出b_n，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，
因?yàn)榍?項(xiàng)和為105，且a₂₀=2a₅，
所以

5a1+ 5×4 2 ×d=105 a1+19d=2(a1+4d)

，解得

a1= 21×11 13 d= 21 13

，
則a_n=

21×11

13

+（n-1）×

21

13

=

21

13

（n+1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=

an•2n-1

7

=

3

13

（n+1）•2^n-1，
所以S_n=

3

13

[2•2⁰+3•2+4•2²+…+（n+1）•2^n-1]，①
2S_n=

3

13

[2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ]，②
①-②得，-S_n=

3

13

[2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ]
=

3

13

[2+

2(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ]=-

3n

13

•2n，
所以S_n=

3n

13

•2n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了學(xué)生化簡(jiǎn)計(jì)算能力．