Question

10．證明：1-$\frac{1}{x+1}$≤ln（x+1）≤x，其中x＞-1．

Answer 1

分析 分別構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，g（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，從而證出結(jié)論．

解答 證明：（1）構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，
∵f′（x）=$\frac{-x}{x+1}$，（x＞-1），當(dāng)x=0，f′（0）=0，得下表

x	-1＜x＜0	0	x＞0
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值f（0）=0	單調(diào)遞減

∴x＞-1總有f（x）≤f（0）=0，∴l(xiāng)n（x+1）-x≤0，∴l(xiāng)n（x+1）≤x；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，∵g′（x）=$\frac{x}{{（x+1）}^{2}}$，
當(dāng)x=0，g′（0）=0，當(dāng)-1＜x＜0，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞0，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；∴x=0，g（x）_極小值=g（x）_min=g（0）=0，
∴x＞-1時，總有g(shù)（x）≥g（0）=0，∴l(xiāng)n（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1≥0，
即：1-$\frac{1}{x+1}$≤ln（1+x），
綜上（1）（2）不等式1-$\frac{1}{x+1}$≤ln（x+1）≤x成立．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．