分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)若?x0∈[1,e]使得f(x0)≥g(x0)成立,轉(zhuǎn)化為f(x)≥g(x)在區(qū)間[1,e]上有解,利用參數(shù)分離法進行求解即可.
解答 解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=$\frac{(2x-1)(x-a)}{x}$,(x>0,a>$\frac{1}{2}$),
令f′(x)>0,解得:x>a或0<x<$\frac{1}{2}$,
令f′(x)<0,解得:$\frac{1}{2}$<x<a,
∴f(x)在(0,$\frac{1}{2}$)遞增,在($\frac{1}{2}$,a)遞減,在(a,+∞)遞增;
(Ⅱ)由題意知,不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間[1,e]上有解,
即x2-2x+a(lnx-x)≥0在區(qū)間[1,e]上有解,
∵當x∈[1,e]時,lnx≤1≤x(不同時取等號),
∴l(xiāng)nx-x<0,
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在區(qū)間[1,e]上有解,
令 h(x)=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$,則h′(x)=$\frac{(x-1)(x+2-2lnx)}{{(x-lnx)}^{2}}$,
∵x∈[1,e],∴x+2>2≥2lnx,
∴h′(x)≥0,則h(x)單調(diào)遞增,
∴x∈[1,e]時,h(x)的最大值為h(e)=$\frac{e(e-2)}{e-1}$,
∴a≤$\frac{e(e-2)}{e-1}$,
則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,$\frac{e(e-2)}{e-1}$].
點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,意在考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用和綜合分析問題解決問題的能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B. | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{2}$ | B. | 2 | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | 1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (0,+∞) | B. | (-∞,$\frac{1}{4}}$) | C. | (0,$\frac{1}{4}}$] | D. | (0,$\frac{1}{4}}$) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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