Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)

(1) 當時，求函數(shù)的最值；

(2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3) 試說明是否存在實數(shù)使的圖象與無公共點.

Answer 1

解：（1） 函數(shù)f(x)=x²-ax-aln(x-1)(a∈R)的定義域是(1,+∞)……………………1分

當a=1時，，所以f (x)在為減函數(shù) ………3分

在為增函數(shù)，所以函數(shù)f (x)的最小值為=.………………5分

(2) ………………………………………6分

若a≤0時，則f(x)在(1,+∞)恒成立，所以f(x)的增區(qū)間為(1,+∞).………………………………8分

若a＞0，則故當，，…………… 9分

當時，f(x) ,

所以a＞0時f(x)的減區(qū)間為，f(x)的增區(qū)間為.………………10分

(3) a≥1時，由（1）知f(x)在(1,+∞)的最小值為，………11分

令在 [1,+∞)上單調(diào)遞減，

所以則>0，……………………12分

因此存在實數(shù)a(a≥1)使f(x)的最小值大于，

故存在實數(shù)a(a≥1)使y=f(x)的圖象與無公共點.………………………14分