Question

（2013•南通一模）已知左焦點(diǎn)為F（-1，0）的橢圓過點(diǎn)E（1，

2 3

3

）．過點(diǎn)P（1，1）分別作斜率為k₁，k₂的橢圓的動(dòng)弦AB，CD，設(shè)M，N分別為線段AB，CD的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P為線段AB的中點(diǎn)，求k₁；
（3）若k₁+k₂=1，求證直線MN恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法確定k₁的值；
（3）求出直線MN的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及k₁+k₂=1探究直線過哪個(gè)定點(diǎn)．

解答：（1）解：由題意c=1，且右焦點(diǎn)F′（1，0）
∴2a=EF+EF′=2

3

，b²=a²-c²=2
∴所求橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

3

+

y12

2

=1①，

x22

3

+

y22

2

=1②
②-①，可得k₁=

y2-y1

x2-x1

=-

2(x2+x1)

3(y2+y1)

=-

2

3

；
（3）證明：由題意，k₁≠k₂，
設(shè)M（x_M，y_M），直線AB的方程為y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂，
代入橢圓方程并化簡得（2+3k12）x²+6k₁k₂x+3k22-6=0
∴xM=

-3k1k2

2+3k12

，yM=

2k2

2+3k12

同理，xN=

-3k1k2

2+3k22

，yN=

2k1

2+3k22

當(dāng)k₁k₂≠0時(shí)，直線MN的斜率k=

yM-yN

xM-xN

=

10-6k1k2

-9k1k2

直線MN的方程為y-

2k2

2+3k12

=

10-6k1k2

-9k1k2

（x-

-3k1k2

2+3k12

）
即y=

10-6k1k2

-9k1k2

x-

2

3

此時(shí)直線過定點(diǎn)（0，-

2

3

）
當(dāng)k₁k₂=0時(shí)，直線MN即為y軸，此時(shí)亦過點(diǎn)（0，-

2

3

）
綜上，直線MN恒過定點(diǎn)，且坐標(biāo)為（0，-

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．