Question

16．銳角三角形△ABC滿足b²-a²=ac，則$\frac{1}{tanA}-\frac{1}{tanB}$的取值范圍為$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理化簡已知式子，由二倍角的余弦公式變形、和差化積公式和誘導公式化簡后，由內角的范圍和正弦函數(shù)的性質求出A與B關系，由銳角三角形的條件求出B的范圍，利用商得關系、兩角差的正弦公式化簡所求的式子，由正弦函數(shù)的性質求出所求式子的取值范圍．

解答 解：∵b²-a²=ac，
∴由正弦定理得，sin²B-sin²A=sinAsinC，
$\frac{1-cos2B}{2}-\frac{1-cos2A}{2}$=sinAsinC，
$\frac{cos2A-cos2B}{2}=sinAsinC$，
由和差化積公式得cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B），代入上式得，
-sin（A+B）sin（A-B）=sinAsinC，
∵sin（A+B）=sinC≠0，
∴-sin（A-B）=sinA，即sin（B-A）=sinA，
在△ABC中，B-A=A，得B=2A，則C=π-3A，
∵△ABC為銳角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{π}{6}$$＜A＜\frac{π}{4}$，則$\frac{π}{3}＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{tanA}-\frac{1}{tanB}$=$\frac{cosA}{sinA}-\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosAsinB-sinAcosB}{sinAsinB}$
=$\frac{sin（B-A）}{sinAsinB}=\frac{1}{sinB}$，
由$\frac{π}{3}＜B＜\frac{π}{2}$得，sinB∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），則$\frac{1}{sinB}$∈（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴$\frac{1}{tanA}-\frac{1}{tanB}$取值范圍是（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
故答案為：$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$．

點評 本題是綜合題，考查了正弦定理，三角恒等變換中公式，以及正弦函數(shù)的性質，涉及知識點多、公式多，綜合性強，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．