Question

11．已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，即可求出它的最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出f（x）圖象的對(duì)稱軸方程與對(duì)稱中心的坐標(biāo)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
再令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴f（x）圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．