Question

設(shè)橢圓C₁：的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖．若拋物線C₂：y=x²﹣1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過F₁，F(xiàn)₂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（0，），N為拋物線C₂上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知B（0，﹣1），則A（0，﹣2），故b=2．
令y=0得x²﹣1=0即x=±1，
則F₁（﹣1，0），F(xiàn)₂（1，0），故c=1．
所以a²=b²+c²=5．
于是橢圓C₁的方程為：．
（Ⅱ）設(shè)N（t，t²﹣1），
由于y'=2x知直線PQ的方程為：y﹣（t²﹣1）=2t（x﹣t）．
即y=2tx﹣t²﹣1．
代入橢圓方程整理得：4（1+5t²）x²﹣20t（t²+1）x+5（t²+1）²﹣20=0，
△=400t²（t²+1）²﹣80（1+5t²）[（t²+1）²﹣4]=80（﹣t⁴+18t²+3），，，
故=．
設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則．
所以，△MPQ的面積S==
==
當(dāng)t=±3時(shí)取到“=”，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)△＞0，滿足題意．
綜上可知，△MPQ的面積的最大值為．