若以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為（　　）
A、
3-
5
2
B、
5
-1
2
C、
3
-1
2
D、
2
-1
2
分析：根據(jù)題意，橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)確定的直線到橢圓的中心O的距離等于半焦距，因此求出該直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于a、b、c的等式，結(jié)合b2=a2-c2化簡(jiǎn)整理出關(guān)于離心率e的方程，解之可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形為ABCD，
設(shè)點(diǎn)A（a，0），B（0，b），可得直線AB的方程為：
x
a
+
y
b
=1，即bx+ay-ab=0
∵菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過(guò)焦點(diǎn)，
∴原點(diǎn)O到直線AB的距離等于半焦距，即
|-ab|
b2+a2
=c，
兩邊平方，整理得a2b2=c2（a2+b2）．
∵b2=a2-c2，
∴a2（a2-c2）=c2（2a2-c2），化簡(jiǎn)得a4-3a2c2+c4=0，
兩邊都除以a4，得(
c
a
)4-3(
c
a
)2+1=0，即e4-3e2+1=0
解之得e2=
3±
5
2
，
∵0＜e＜1，∴e2=
3-
5
2
=(
5
-1
2
)2，可得e=
5
-1
2
．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿足的條件，求它的離心率．著重考查了直線的方程、點(diǎn)到直線的距離公式和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與橢圓交于A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2，A，B，C，D恰好為一個(gè)正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

我們稱離心率e=
5
-1
2
的橢圓叫做“黃金橢圓”，若
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)為黃金橢圓，以下四個(gè)命題：
（1）長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距c成等比數(shù)列．
（2）一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)與其不同側(cè)的焦點(diǎn)以及一個(gè)短軸頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．
（3）以兩條通經(jīng)的4個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形．
（4）P、Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，M為PQ中點(diǎn)，只要PQ與OM的斜率存在，必有kPQ•kOM的定值．
其中正確命題的序號(hào)為
（1）（2）（3）（4）
（1）（2）（3）（4）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知橢圓M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為5的菱形，原點(diǎn)O到直線AB的距離為
12
5
，其A（0，a），B（-b，0）．直線l：x=my+n與橢圓M相交于C，D兩點(diǎn)，且以CD為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)P（其中點(diǎn)C，D與點(diǎn)P不重合）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）試判斷直線l與x軸是否交于定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本小題滿分14分）已知圓和橢圓，直線

與相切且與橢圓交于A．B兩點(diǎn)，

（Ⅰ）若OA⊥OB，求證： ；

   （Ⅱ）若直線變化時(shí)，以O(shè)A．OB為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為P，求的最大值和最小值.

 

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