Question

設(shè)直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），對于下列四個命題：
A．M中所有直線均經(jīng)過一個定點(diǎn)
B．存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上
C．對于任意整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上
D．M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等
其中真命題的代號是    （寫出所有真命題的代號）．

Answer 1

【答案】分析：驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圓x²+（y-2）²=1的切線的集合，
A．M中所有直線均經(jīng)過一個定點(diǎn)，驗(yàn)證直線方程是否能化為為l₁+λl₂形式，
B．存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上，觀察直線的方程即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
C．對于任意整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上，由直線系的幾何意義可判斷，
D．M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等，由直線系的幾何意義可判斷
解答：解：驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圓x²+（y-2）²=1的切線的集合，
A．M中所有直線均經(jīng)過一個定點(diǎn)，由于本題中的直線不能轉(zhuǎn)化為l₁+λl₂形式，故不可能過一個定點(diǎn)
B．存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上，觀察知點(diǎn)M（0，2）即符合條件，故B正確；
C．對于任意整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上，由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，故C正確；
D．M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等，由直線系的幾何意義知，這些線所圍成的正三角形都有一個共同的內(nèi)切圓x²+（y-2）²=1，所以面積大小一定相等，故本命題正確．
故答案為：BCD
點(diǎn)評：本題考查直線系方程的應(yīng)用，要明確直線系M中直線的性質(zhì)，依據(jù)直線系M表示圓 x²+（y-2）²=1 的切線的集合，結(jié)合圖形，判斷各個命題的正確性．本題易因?yàn)橛^察不知直線系所具有的幾何特征而導(dǎo)致后兩個命題的真假無法判斷，對問題進(jìn)行深入分析是發(fā)現(xiàn)其意義的捷徑．