Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥BC，E、F分別是A₁B，AC₁的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：平面AEF⊥平面AA₁B₁B；
（3）若AB=BC=a，A₁A=2a，求三棱錐F-ABC的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）連結A₁C，可證EF是△A₁BC的中位線，即EF∥BC，從而可證EF∥平面ABC．
（2）易知BC⊥B₁B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB₁A₁，又EF∥BC，即EF⊥平面ABB₁A₁，即可證明平面AEF⊥平面AA₁B₁B，
（3）由直三棱柱可知V_{三棱錐F-ABC}=

1

3

S_△ABC×h=

1

3

S_△ABC×

1

2

×CC₁，代入即可求值．

解答： 證明：（1）連結A₁C，
由A₁C₁CA 是矩形，則A₁C必過AC₁的中點F，即F是A₁C的中點，
同理E是A₁B的中點，
則EF是△A₁BC的中位線，
即EF∥BC，又由BC在平面ABC中，EF在平面ABC外，
則EF∥平面ABC．
（2）由A₁B1C₁-ABC是直棱柱，則B₁B⊥BC，即BC⊥B₁B，
又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB₁A₁，
又由（1）知EF∥BC，即EF⊥平面ABB₁A₁，
而EF在平面AEF中，則平面AEF⊥平面AA₁B₁B，
（3）∵三棱柱A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱．
∴V_{三棱錐F-ABC}=

1

3

S_△ABC×h
=

1

3

S_△ABC×

1

2

×CC₁
=

1

3

×

1

2

×a×a×a
=

a3

6

．

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力，屬于中檔題．