如圖，A，B，C是圓O上三個(gè)點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，交圓O于D，過B做直線BE交AD延長(zhǎng)線于E，使BD平分∠EBC．
（1）求證：BE是圓O的切線；
（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段
專題：直線與圓,推理和證明
分析：（1）連接BO并延長(zhǎng)交圓O于G，連接GC，由已知條件推導(dǎo)出∠GBC+∠EBC=90°，從而得到OB⊥BE．由此能證明BE是圓O的切線．
（2）由（1）知△BDE∽△ABE，從而得到AE•BD=AB•BE，由此利用切割線定理能求出DE．
解答： （1）證明：連接BO并延長(zhǎng)交圓O于G，連接GC，
∵∠DBC=∠DAC，又∵AD平分∠BAC，BD平分∠EBC，
∴∠EBC=∠BAC．
又∵∠BGC=∠BAC，∴∠EBC=∠BGC，
∵∠GBC+∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠EBC=90°，∴OB⊥BE．
∴BE是圓O的切線．…（5分）
（2）由（1）知△BDE∽△ABE，
BE
AE
=
BD
AB
，
∴AE•BD=AB•BE，AE=6，AB=4，BD=3，
∴BE=
9
2
．…（8分）
由切割線定理得BE2=DE•AE，
∴DE=
27
8
．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是非曲直中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切割線定理的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

復(fù)數(shù)z=m2（
1
m+8
+i）+（6m-16）i-
m+2
m+8
．（i為虛數(shù)單位）
（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限或第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
16
=1．
（Ⅰ）求橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)及離心率；
（Ⅱ）已知直線l過（1，0），與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為橢圓C的左頂點(diǎn)．是否存在直線l使得∠AMB=60°？如果有，求出直線l的方程；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率e=
2
2
，A，B是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ
OB
，（其中實(shí)數(shù)λ為常數(shù)）．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)λ=1，且直線AB過F點(diǎn)且垂直于x軸時(shí)，求過A，B，P三點(diǎn)的外接圓方程；
（3）若直線OA與OB的斜率乘積kOA•kOB=-
1
2
，問是否存在常數(shù)λ，使得動(dòng)點(diǎn)P滿足PG+PQ=4，其中G（-
2
，0），Q（
2
，0），若存在求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=（1+x）n=C
 
0
n
+C
 
1
n
x+C
 
2
n
x2+…+C
 
n-1
n
xn-1+C
 
n
n
xn（n是正整數(shù)），利用賦值法解決下列問題：
（1）求S1=C
 
0
n
+C
 
1
n
+C
 
2
n
+…+C
 
n
n
；
（2）n為偶數(shù)時(shí)，求S2=C
 
1
n
+C
 
3
n
+C
 
5
n
+…+C
 
n-1
n
；
（3）n是3的倍數(shù)時(shí)，求S3=C
 
2
n
+C
 
5
n
+C
 
8
n
+…+C
 
n-1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
ax3-
1
2
(a+1)x2+bx(a，b∈R，a≠1，a＞0)在x=1時(shí)取得極值．
（1）求b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=10，an+1=9Sn+10，設(shè)Tn是數(shù)列{
3
(lgan)(lgan+1)
}的前n項(xiàng)和，求使Tn＞
1
4
（m2-5m）對(duì)所有的n∈N成立的最大正整數(shù)m的值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且
3
b=2csinB．
（1）求角C的大�。�
（2）若c=4，且△ABC的面積為4
3
，求△ABC的周長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N．求證：OB⊥DF．

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